Group Theory
参考：《群论一》讲义 李新征
简介
群论：研究这个集合的 结构特征及其生成的规律的一门学科，是对称性原理的数学语言。
历史
19世纪发展起来，在发展初期，数学上的另外三个分支是基础，分别为几何学、数论和代数方程理论。就是在求解一元高次方程根式解时，人们引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系。
四次以上的方程无法用配方、换元去解，于是从拉格朗日到阿贝尔，他们丛书伦敦角度去考虑这些问题。
建立群论之后，物理学的工作：
- 几何晶体学的发展，晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们 在晶体学中的应用
- 对称性与守恒量之间的关系
- 对称性在量子力学中的应用
例1：平移不变性与动量守恒
化学：Pauling
第一章 群的基本概念
1.1 群
定义 1.1 群
设𝐆是一些元素（操作）的集合，记为𝐆 = {⋯，g，⋯}，在𝐆中定义 了乘运算，如果𝐆中元素对这种运算满足下面四个条件：
- 封闭性：∀两个元素（操作）的乘积仍属于这类元素（操作）的集合
- 结合律：对∀三个元素（操作）𝐟、𝐠、𝐡，有(𝐟𝐠)𝐡 = 𝐟(𝐠𝐡)；
- 有唯一单位元素 e，使得对∀𝐟 ∈ 𝐆，有𝐞𝐟 = 𝐟𝐞 = 𝐟；
- 对∀𝐟 ∈ 𝐆，存在且唯一存在\(𝐟^{-1}\)属于G，使\(𝐟^{-1}𝐟 = 𝐟𝐟^{-1} = 𝐞\)；
这时我们称𝐆是一个群，其中元素是群元，𝐞为其单位元素，\(𝐟^{−𝟏}\)为𝐟的逆。 例1.1. 空间反演群：一个集合有两个操作E和I，E作用三维欧式空间中任一向量\(-\vec{r}\)上，得到\(\vec{r}\)本身，I作用这个\(\vec{r}\)上，得到\(-\vec{r}\)。 例2.
定义 1.2 有限群与无限群
群内元素个数称为群的阶，当群阶有限时，称为有限群，当群阶无限时，称为无限群。
定义 1.3 Abel群
群的乘法一般不可交换（这个在群的定义里面没有体现，因此在一般的群中也不需要遵守，比如 D3 中 ad 就不等于 da），当群中元素乘法可以任意互换时，这个群称为 Abel 群。（可以想象Abel群的乘法表都应是关于对角线对称的）
定理 1.1 重排定理
设𝐆 = {⋯，𝐠𝛂，⋯}，对∀𝐮 ∈ 𝐆，当\(g_{\alpha}\)取遍𝐆中所有元素时，\(ug_{\alpha}\)给出且仅仅一次给出𝐆中所有元素。 证明： 两个方面：
1.2 子群与陪集
定义 1.4 子群
设 \(H\) 是群 \(G\) 的一个子集（部分元素的集合），若对群 \(G\) 相同的乘法运算，H 也构成一个群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的子群。
定义 1.5 群元的阶
对任意一个有限群\(G\)，从中取出一个元素a，从a出发做幂操作，总是可以构成\(G\)的一个循环子群\(Z_k\)，这个\(Z_k\)等于\(\{a, a^2, \ldots, a^{k-1}, a^k=e\}\)，这时称\(k\)（满足这个性质的最小的\(k\)）为群元\(a\)的阶。
定义 1.6 陪集
设\(H\)是群\(G\)的子群，\(H = \{h_\alpha\}\)，由固定的𝐠 ∈ 𝐆，可生成子群\(H\)的左陪集：\(gH = \{gh_\alpha | h_\alpha \in H\}\)，也可生成子群\(H\)的右陪集：\(Hg = \{h_\alpha g| h_\alpha \in H\}\)。
定理 1.2 陪集定理
设群\(H\)是\(G\)的子群，则\(H\)的两个左（或右）陪集要么完全相同，要么没有公共元素。
定理 1.3 拉格朗日 (Lagrange) 定理
有限子群的阶，必为群阶的因子。
1.3 类与不变子群
定义 1.7 共轭
群\(G\)中存在两个元素\(f, h\)，若在\(G\)中存在一个\(g\)，使得\(f, h\)可以通过\(gfg^{-1}=h\)联系起来，则称\(f,h\)共轭，记为\(f\sim h\)。 共轭具有相对性，传递性。
定义 1.8 类
群\(G\)中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群\(G\)的一个类。
定理 1.4
有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。
定义 1.9 共轭子群
设\(H\)和\(K\)都是群\(G\)的两个子群，若存在\(g\)属于\(G\)，使得\(K = gHg^{-1} = {ghg^{-1} | h \in H}\)。这时，称\(H\)和\(K\)是共轭子群。
定义 1.10 不变子群
设\(H\)是\(G\)的子群，若\(H\)中的所有元素的同类元素都属于\(H\)，则称\(H\)是\(G\)的不变子群（正规子群）。
1.4 同构与同态
群与群之间的结构关系
定义 1.12 同构
若从群 \(G\) 到群 \(F\) 上存在一一对应的满映射 \(\Phi\) ，且这个映射本身保持群的乘法运算规律不变，也就是说 \(G\) 中两个元素的乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群 \(G\) 和群 \(F\) 同构，记作 G≅F 。映射 \(\Phi\) 称为同构映射。 同构映射的作用：把单位元素映射到单位元素，把互逆元素映射到互逆元素。 同构是两个群之间结构关系的最强的相似性。